NHK赤毛のアン I'm much obliged.

NHK3ヶ月トピック英会話 赤毛のアンへの旅（5/20）から
アンのために puff sleeve の服を仕立てて欲しいという頼みを
快く引き受けてくれたリンド婦人へ、マシューが言った感謝の言葉。

I'm much obliged.

誰かに頼みごとをして、そのお礼をいう時のフォーマルなフレーズ。
マシューのイメージから訳すと「本当に恩に着るよ。」てな感じでしょうか。

oblige には”義務づける”の他に
to help somebody by doing what they ask or what you know they want
[OXFORD]
”誰々の望んでいることをしてあげる”といった意味もあるんですね。
名詞形の obligation にも、【義務，責任】と【恩義】の定義あり。

　I'd be obliged if ...　”〜だと有難いのですが” と、
oblige を使って丁寧に依頼するときの表現もついでにチェック。

I'd be obliged if you'd meet with me today.
「今日、お会いいただければありがたいのですが」[プログレッシブ英和中辞典]